借我一双慧眼破解升级版“将军饮马”

题目：2019绵阳中考数学第24题

在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3PA/5的最小值．

解：（1）OA=1，A（-1,0）

根据“左加右减”（针对每一个x）,“上加下减”原则，结合A点坐标，得到抛物线解析式：

当y=0时，x=3或x=-1

点B（3,0）

△ABD的面积为5

AB=4

Dy=5/2

代入抛物线解析式，Dx=4

可求一次函数为：y=x/2+1/2

（2）E在一次函数的图象下方

-1＜Ex＜4

求△ACE面积的最大值，其中AC为定长

这里好像不好用铅锤法啊？确实。

代数法比较直接，当取到最大值时，过E的直线与AD平行，且与抛物线只有一个交点。

设该直线为：y=x/2+b

与抛物线联立，△=0，解出b=-21/8

y=x/2-21/8

再次联立求得交点E坐标（3/2，-15/8）

草图画的马马虎虎哈，意思到了就行。毕竟同学们画图，考试，也是没有绘图软件的不是？所以木木真题分析的“真”，就是这么现实，这么“真”！（其实是木木懒，哈哈）

C的坐标（0，1/2）

求直线CE：y=-19x/12+1/2

与x轴的交点式F，F（6/19,0）

OC=1/2，EG=15/8，FA=25/19

S=1/2*FA*（OC+EG）=25/16

思路很直观，计算不复杂，但也考验计算能力。

再给一种思路，割补法算面积，如下图

S△ACE＝S△AE’E－S△CE’E

（3）若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3PA/5的最小值．

求线段和的最小值，可是3PA/5是什么鬼？有同学说，想到了3:4:5的直角三角形，没错，就是要借助这个转化3PA/5。

这里就存在这样的一个直角三角形，你发现了吗？（特别强调，对于综合题中坐标、线段、角度等的观察，往往是解题的关键）

GE=15/8,GA=5/2

GE:GA=3:4

任意找一个P点，则过P作AE的垂线，如下图

PE+3PA/5=PE+PQ

求PE+PQ的最小值，这个可别说你不会啊，作E的对称点E’，过E’作E’Q⊥AE于Q点。

Rt△PQA∽Rt△PGE’，边长比都是3:4:5

E’G=15/8 PE’=PE=75/32

PG=45/32 AG=5/2

AP=35/32 PQ=21/32

PE+3PA/5=75/32+21/32=3