分形几何对数学教学的启示

一、创设情境，激发兴趣

1967年法国数学家曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这个问题似乎很简单，但是当用不同的测量单位测量时得到的结果差异非常大。我们知道，经典几何研究的都是规则图形，传统上都将自然界大量不规则的图形规则化之后再进行处理，也将海岸线折线化以后再得到一个有意义的长度。可事实上海岸线是极不规则和极不光滑的，所以理论上能得到的结果事实上未必能够测量的出来。

通过研究，曼德尔勃罗特发现，海岸线具有自相似性，也就是将海岸线局部放大以后，具有和本身一样的性质。其实自然界的很多事物都具有这种性质，比如树木，植物的叶子，海浪等。

1973年，曼德尔勃罗特在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德尔勃罗特创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在使用上都具有重要价值。

二、问题驱动，增设悬念

【问题1】将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段得到第2个图，如此继续下去得到第3个图，……试探求第个图形的边长和周长。

【问题2】一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉；如此继续下去……假设原正方形的边长是，那么第个图形共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和是多少？

这是苏教版必修5课本上面的两个问题，这样的问题在平时的练习当中并不常见。虽然作图要求很简单，但是作出的图形却非常漂亮，尤其是问题1中著名的科赫雪花曲线与自然界的雪花非常相似，由此，学生还可以联系生活，得到更多有关生活的数学问题，并在以后的数学学习中加以练习，慢慢认识到数学并不是完全脱离实际生活的，只是在悠久的历史中，数学是生活的抽象与概括，是用更加严密的计算与逻辑来论证与推导，是以生活为基础的升华。

三、师生互动，目标达成

让学生自己动手作出图形，不仅让他们提高动手能力，还能够更好的理解题意，帮助解题。

【问题1的图形】首先，第1个图形是边长为1的正三角形。以后每一个图形的生成是在前一个图形的基础上对每条边作这样的操作：将边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段。这里学生要注意的是“向形外作正三角形”，也就是说，后一个图形要在前一个图形上再作正三角形，边长是原来的三分之一，而且是向外“生长”的，然后还要将原来边上的中间一段（即三等分的中间一段）擦掉。所作图形分别如下：

要给学生充足时间去欣赏，并观察变化中的数量关系。接着让学生自己作出问题2的图，大家作出后互相讨论，教师最后展示同学们的图形，也展示教师准备好的图形，并让学生解释。

【问题2的图形】问题2图形分别如下：

教学中要注意，下一个图形的生成都是在前一个图形的基础上重复相同的作图步骤，最为关键的是第3个图形的作法，由此可以看出学生是否真正理解了题意并具备了动手操作的能力，这是解决这个问题的前提。提示学生这种不停重复的操作我们称之为“迭代”。

四、建构模型，延伸拓展

要解决上面两个问题，首先要解决它们是属于哪类数学问题。高中数学中与“迭代”关系密切的知识就是数列的递推表示（迭代函数较少涉及），所以可以通过建立数列的模型来尝试解决问题。先指导学生解决问题1.首先要“设”，然后“列”，再“解”。假设第个图形边的条数是，边长是，周长是，那么，。由于每次都是把前一个图形的边三等分然后作正三角形并擦掉中间一段，则。那么周长又怎么计算呢？多数学生可以发现每一个图形都是正多边形，所以只要知道边长和边数，就可以计算出周长了，而前边已经解决了边长，只要再解决边数怎么计算即可。通过观察得到一次变化后的图形的边数是原来的4倍，因为每次变化都是将原来的1条边变成4条边，即。第个图形的周长是。

问题2相对问题1要容易解决，所以先由学生独立思考，如果学生不能独立完成，可以给出下列分析后再由学生进行建模并完成：第1个图形挖掉了1个正方形，第2个图形挖掉了个正方形，……，第个图形挖掉了个正方形。第1个图形挖掉的正方形的边长是，面积是；第2个图形挖掉的正方形的边长是，面积是，……，第个图形挖掉的正方形的边长是，面积是，于是得到这些挖掉的正方形的面积和是。

五、总结反思，升华理念

让学生总结反思分形几何的处理过程和处理方法，体会作图不仅仅是作图，更是在欣赏的情形下概括其中的数量关系。这是建构数列模型的基础。当然解决模型也要观察数列式子的结构，总结两个问题的数列解决方法。这样也在解决分形问题中学习处理数列的问题。

作为教师，在带领学生探索数学领域的过程中，不仅要遵循数学的严谨，也要注重数学的魅力，抓住时机展现数学美丽的一面，慢慢消除学生对于数学固有的恐惧与抗拒，使学生能够亲近数学、喜欢数学、学好数学。

分形几何是一门新兴的学科，与传统的欧式几何完全不同，它更加贴近生活，也解释了许多传统几何无法解释的知识。更多的有关分形的知识，可以访问有关网站来获得。