人教版九年级上册数学教案：一元二次方程的根与系数的关系

21。2。4一元二次方程的根与系数的关系

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．

2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．

3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．

4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

重点

根与系数的关系及其推导

难点

正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．

一、复习引入

1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．

2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？

3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝。观察两式右边，分母相同，分子是－b＋与－b－。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

方程x1x2x1＋x2x1·x2

x2－2x＝0

x2＋3x－4＝0

x2－5x＋6＝0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方程x1x2x1＋x2x1·x2

2x2－7x－4＝0

3x2＋2x－5＝0

5x2－17x＋6＝0

小结：根与系数关系：

(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)

(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．

即：对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

∵a≠0，∴x2＋x＋＝0

∴x1＋x2＝－，x1·x2＝

(可以利用求根公式给出证明)

例1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

(1)x2－3x－1＝0(2)2x2＋3x－5＝0

(3)x2－2x＝0(4)x2＋x＝

(5)x2－1＝0(6)x2－2x＋1＝0

例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？

(1)x2－2x＋1＝0(x1＝＋1，x2＝－1)

(2)2x2－3x－8＝0(x1＝，x2＝)

例3已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)

例4已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．

变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；

变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k。

三、课堂小结

1．根与系数的关系．

2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．

四、作业布置

1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．

(1)x2－5x－3＝0(2)9x＋2＝x2(3)6x2－3x＋2＝0

(4)3x2＋x＋1＝0

2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．

3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值。