高中数学给出二面角的平面角的正切值的目的是什么？细节决定成败
原题
原题：如图①，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，BE⊥AD，将△ABD沿对角线BD折起，使AB⊥BC，连接AC，EC，得到如图②所示的三棱锥A-BCD。
⑴证明：BE⊥平面ADC；
⑵若ED=1，二面角C-BE-D的平面角的正切值为√6，求直线BD与平面ADC所成角的正弦值。
该题分为两个小问，第一个小问虽然看起是简单的线面垂直的证明，但实际上该小问需要证明两个线面垂直才能证出最后的线面垂直，这样的证明也会导致很多同学找不到证明的源头，像这样的题最好还是要从已知向结论和由结论向已知进行双向推导来证明。
而第二小问是考察了对给出的二面角的平面角的理解，需要注意的是二面角不是平面角，二面角是由两个平面组成，其角的范围是0~180度，而平面角却是由两条射线组成，其范围是0~360度，所以该二面角的平面角是以该二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角就叫做二面角的平面角。
那理解了该二面角的平面角的意义后，又给出二面角的平面角的正切值又得出什么样的结论呢？下面就在解答过程中来详细说明。
第一问
第一问是证明BE⊥平面ADC，要想证明BE⊥平面ADC只需要证明BE与AD和CD这两个相交直线垂直即可，因为BE⊥AD，所以只需要证明BE⊥CD即可，要想证明BE⊥CD，需要证明CD⊥平面ABD，要想证明CD⊥面ABD，需要证明CD垂直直线BD和AB这两条交线，因为CD⊥BD，所以只需要证明CD⊥AB即可，要想证明CD⊥AB，需要证明AB⊥面BDC，要想证明AB⊥面BDC，需要证明AB垂直BC和BD这两个交线，因为AB⊥BC，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，所以有∠BDC=∠ABD=90度，所以AB⊥BD，所以有BE⊥平面ADC。
具体做法如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，所以有∠BDC=∠ABD=90度，所以AB⊥BD；
又因为AB⊥BC，且BD和BC是相交直线，所以AB⊥面BDC。
因为CD∈面BDC，所以AB⊥CD；
又因为CD⊥BD，且AB和BD是相交直线，所以CD⊥面ABD。
因为BE∈面ABD，所以CD⊥BE；
又因为BE⊥AD，且AD和CD是相交直线，所以BE⊥面ADC。
第二问
第二问是要求直线BD和平面ADC所成角的正弦值，对于求线面角的正弦值，一般是用向量的方法求解，而该直线的向量和该面的法向量的夹角的余弦值的绝对值就是该线面角的正弦值，前面有详细的讲解在此不多说明，详细可见如图△CDE重心为G，咋确定G点求出AG与面ABCD夹角正弦值？须知这些
使用向量的方法求空间几何线面角的正弦值，要有以下的步骤：第一，建立空间直角坐标系；第二，求出各点坐标；第三，求出该直线的向量和该平面的法向量；第四，根据向量的乘积求出两个向量夹角的余弦值；第五，求出该线面角的正弦值。
第一，建立空间直角坐标系。
建立空间直角坐标系要先找到三条直线两两垂直的情况。
由第一问证明得到CD⊥AB⊥BD，所以直线CD、AB和直线BD是两两垂直的，所以过D点做DF∥AB，则直线DF⊥CD⊥BD。
则以D点为圆心，以向量DB为x轴，以向量DC为y轴，以向量DF为z轴，建立空间直角坐标系。
如图：
第二步，求出各点坐标。
因为以D为原点，所以D(0,0,0)；
这里我们发现除了ED=1和二面角C-BE-D的平面角的正切值为√6，再没有给出其他边的值，所以要想得出各边的值，就要从“二面角C-BE-D的平面角的正切值为√6”入手。
由第一问得知，BE⊥面ADC，且EC在面ADC内，所以BE⊥EC；因为BE⊥AD，所以BE⊥DE，且DE和EC分别是面BDE和面BEC内的直线，BE是这两个面的公共线，所以∠DEC就是二面角C-BE-D的平面角，所以tan∠DEC=√6.
因为CD⊥面ABD，且AD在面ABD内，所以CD⊥AD，即∠CDE=90度，所以tan∠DEC=CD/DE=√6，因为DE=1，所有CD=√6.
所以C点的坐标为(0,√6,0)；
在平行四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC，∠BED=∠BDC=90度，所以△DEB∽△BDC，则DE/BD=BD/CB。
设BD=m(m>0)，则CB=√(m^2+6)，故1/m=m/√(m^2+6)，解得m=√3，所以BD=√3，BC=3，所以B点坐标为(√3,0,0)；
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=√6，所以A点坐标为(√3,0,√6)。
第三步，求出直线BD的向量和面ADC的法向量。
向量DB=(√3,0,0)－(0,0,0)=(√3,0,0)；
向量DA=(√3,0,√6)－(0,0,0)=(√3,0,√6)，向量DC=(0,√6,0)－(0,0,0)=(0,√6,0)，设面ADC的法向量为n=(x,y,z)，则有向量n·向量DA=0，向量n·向量DC=0，即√3x+√6z=0，√6y=0，令z=－√6，得到向量n=(2√3,0,－√6)。
第四步，求出这两个向量的夹角余弦值。
设向量DB和向量n的夹角为φ，则cosφ=向量DB·向量n/|向量DB|·|向量n|=√6/3.
第五步，求出BD和面ADC的夹角正弦值。
设BD和面ADC的夹角θ，则sinθ=|cosφ|=√6/3.
总结
该题需要注意的是二面角的平面角具体的定义，要以后做题的过程中，不要将这个概念混淆，很多时候题中的一个信息出现错误，都会导致这个题出现错误。
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