2022数学同心迎中考：一元二次方程根的判别式 每年中考故事多
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01近八年中考真题精选
参考答案
精典题目解析
一、选择题
1.A．
2. 考点根与系数的关系．分析由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．解答解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，∴x1+x2=﹣=﹣，1x2==﹣2，∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．故选D．
3. 答案B．试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选B．考点：根的判别式；点的坐标．
4. 答案C．试题分析：解不等式得x＜，而不等式的解集为x＜1，所以=1，解得a=0，又因为△==﹣4，所以关于x的一元二次方程没有实数根．故选C．考点：根的判别式；不等式的解集．
5. 答案A试题分析：考点AA：根的判别式；C4：在数轴上表示不等式的解集．分析根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．解答解：根据一元二次方程的定义结合根的判别式，由关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，可得出关于k的一元一次不等式组 ，解得：k＞﹣1．将其表示在数轴上为.故选：A．考点：1、根的判别式；2、在数轴上表示不等式的解集
6. 答案：B解析：由于k2＋2k＋4可化为(k＋1)2＋3＞0，因此－(k2＋2k＋4)＜0，因此这个函数y随x的增加而减小，由于－7＞－8，因此m＜n．
7. 分析直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．点评此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
8. 分析利用一次函数的性质得到k＞0，b≤0，再判断△＝k2﹣4b＞0，从而得到方程根的情况．点评本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
9. 分析首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．点评本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10. 答案C解析解：（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为，故选：C．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率。本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
11. 分析根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．解答解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴解得：k≥且k≠2．故选：D．点评本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
12. 答案A.{解析}本题考查了根的判别式，Δ=b2+12c=b2+12×（5-b）=b2+60-12b=b2-12b+36+24=（b-6）2+24>0． ∴方程有两个不相等的实数根，因此本题选A．
13. 分析利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．解答解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．点评本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
14. 分析根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．解答解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，得：k≤且k≠1．故选：D．点评本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
15. 分析先化成一般式后，在求根的判别式．解答解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．点评本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
16.分析： 根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．解答： 解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．点评： 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
二、填空题
17. 没有实数根．
18. 分析由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
解答解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2；
故答案为：2．
点评本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
19. 分析根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可；解答解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案为0；点评本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
20. 分析根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．解答解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，故答案为：5．点评本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△＝b2﹣4ac．
21. 分析由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．点评本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．
22. 分析要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．解答解：点评此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
23. 分析由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．点评本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
24. 分析利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
点评本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
三、计算题
26. 分析（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
点评本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
四、应用题
27. 解：（1）证明：∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0,
=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，
由（1）知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，
∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解.
将x=5代入方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，
25-5(2k+1)+k2+k=0，解得k=4或k=5.
当k=4时，原方程为x2-9x+20=0，x1=5,x2=4,以5，5，4为边长能构成等腰三角形；
当k=5时，原方程为x2-11x+30=0，x1=5,x2=6,以5，5，6为边长能构成等腰三角形；（必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5）
∴k的值为4或5.
28. 答案有两个不相等的实数根．
试题分析：根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△＝（一b)2-8a, 结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论。
试题解析：∵2☆a的值小于0,∴ 22a+a=5a＜0, 解得：a＜0.
在方程2x2-bx+a=0中，△＝（－b)2-8a≥-8a＞0, ∴方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根。
考点：根的判别式；新定义．
五、复合题
29. (1)∵△＝[(m3)]2－4·1·(－m2)＝m2－6m＋9＋4m2
＝5m2－6m＋9
＝5(m－)2＋
∵(m－)2≥0
∴5(m－)2＋＞0
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x1·x2=m2≤0
∴x1与x2异号.
①当x1≥0，x2＜0时.
由∣x1∣=∣x2∣－2得x1=－x2－2∴x1＋x2=－2
又x1＋x2=m－3∴m－3=－2∴m=1
此时方程为x2＋2x－1=0∴x1=－1＋.x2=－1－
②当x1＜0，x2≥0时
由∣x1∣=∣x2∣－2得－x1=x2－2
∴x1＋x2＝2又x1＋x2＝m－3
∴m－3=2∴m=5
此时方程为x2－2x－25=0，∴x1=1＋x2=1－
30. 分析（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．
解答解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．